Proporcionalidade descreve como duas grandezas se relacionam. Antes de calcular, descubra se elas crescem juntas ou se uma diminui quando a outra aumenta.
01
Razão é uma comparação por divisão
A razão entre dois números a e b, com b diferente de zero, pode ser escrita como a:b ou a/b. A ordem importa: a razão de meninas para meninos não é igual à razão de meninos para meninas.
Quando as grandezas têm unidades diferentes, a razão forma uma taxa. Velocidade em km/h, densidade demográfica em hab./km² e consumo em km/L são exemplos. A unidade faz parte da interpretação.
Relaciona uma medida do desenho à medida real.
Compara distância percorrida e tempo gasto.
Compara massa e volume de um material.
Uma sala possui 18 estudantes presentes e 6 ausentes. A razão presentes:ausentes é 18:6 = 3:1. Já a razão presentes:total é 18:24 = 3:4.
Leia o enunciado com atenção. Comparar meninas com meninos é diferente de comparar meninas com o total da turma.
02
Proporção é uma igualdade entre razões
Duas razões formam uma proporção quando representam a mesma relação. Em a/b = c/d, os termos a e d são os extremos, e b e c são os meios. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Também podemos obter razões equivalentes multiplicando ou dividindo numerador e denominador pelo mesmo número não nulo. Por exemplo, 3/5 = 6/10 = 15/25.
Se a primeira razão compara quilômetros com litros, a segunda também deve colocar quilômetros acima e litros abaixo.
03
Diretamente ou inversamente proporcional?
Crescem ou diminuem juntas
Mais produtos → maior preço. Dobrar uma grandeza dobra a outra, mantendo a razão.
Uma cresce e a outra diminui
Mais trabalhadores → menos tempo. Dobrar uma grandeza reduz a outra pela metade.
- 1Imagine uma grandeza aumentando
Pergunte o que deve acontecer com a outra nas mesmas condições.
- 2Classifique a relação
Mesmo sentido: direta. Sentidos opostos: inversa.
- 3Confira a lógica
O resultado final precisa ser coerente com a situação descrita.
04
Constante de proporcionalidade, tabelas e gráficos
Em uma relação diretamente proporcional, podemos escrever y = kx. O número k é a constante de proporcionalidade e pode ser encontrado por k = y/x. Em uma relação inversa, o produto permanece constante: x·y = k.
y/x permanece constante
Se cada ingresso custa R$ 15, preço/quantidade = 15. O gráfico é uma reta que passa pela origem.
x·y permanece constante
Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 h, 4 × 6 = 24. Com 8 máquinas, o tempo é 24/8 = 3 h.
Duas grandezas podem aumentar sem serem diretamente proporcionais. Para haver proporcionalidade direta, a razão y/x precisa permanecer constante.
05
Regra de três simples
A regra de três organiza três valores conhecidos e uma incógnita. O essencial é montar as colunas com grandezas correspondentes.
Coloque valores da mesma grandeza na mesma coluna.
Descubra se a relação é direta ou inversa.
Na direta, multiplique cruzado. Na inversa, inverta uma razão antes.
Analise unidade e coerência do resultado.
6 ingressos custam R$ 90. Quanto custam 10? Relação direta: 6/10 = 90/x. Assim, 6x = 900 e x = R$ 150.
12 trabalhadores concluem uma tarefa em 15 dias. Mantida a produtividade, 20 trabalhadores levam x dias. Como é inversa: 12 × 15 = 20 × x. Logo, x = 9 dias.
06
Regra de três composta
Use a regra de três composta quando a incógnita se relaciona com três ou mais grandezas. Compare cada coluna separadamente com a grandeza que contém x.
4 máquinas produzem 600 peças em 5 horas. Quantas peças 6 máquinas produzem em 8 horas, no mesmo ritmo?
Mais máquinas e mais horas geram mais peças: as duas relações são diretas. x = 600 × (6/4) × (8/5) = 1.440 peças.
- 1Monte uma coluna para cada grandeza
Mantenha as unidades compatíveis.
- 2Fixe a coluna da incógnita
Compare cada outra grandeza com ela.
- 3Inverta somente as relações inversas
Depois multiplique os fatores proporcionais.
07
Divisão proporcional
Dividir uma quantidade em partes proporcionais significa respeitar pesos dados. Para dividir R$ 1.200 na razão 2:3:5, some os termos: 2 + 3 + 5 = 10. Cada parte unitária vale 1.200/10 = 120.
2 × 120 = R$ 240.
3 × 120 = R$ 360.
5 × 120 = R$ 600.
Confira sempre a soma: 240 + 360 + 600 = 1.200. Em provas, essa ideia aparece na divisão de lucros, prêmios, custos e recursos.
08
Escala, conversões e outras aplicações
Em escalas, 1 m = 100 cm e 1 km = 100.000 cm. Misturar unidades é uma das principais causas de erro.
09
Método de resolução e erros frequentes
- 1Nomeie as grandezas
Escreva o que cada número representa e sua unidade.
- 2Teste a relação
Dobrar uma grandeza dobra, reduz à metade ou não produz padrão fixo na outra?
- 3Escolha a estratégia
Valor unitário, proporção, constante ou regra de três podem resolver o problema.
- 4Estime e confira
Verifique ordem de grandeza, unidade e coerência.
Classifique a relação antes de alterar uma razão.
Valores correspondentes precisam ocupar a mesma posição.
Algumas relações não são proporcionais; verifique se existe uma constante.
O QUE VOCÊ PRECISA LEMBRAR
Mapa rápido da proporcionalidade
Dica: compreender a relação é mais importante do que decorar a multiplicação cruzada.
11
Agora pratique
Escolha uma alternativa. A explicação aparece imediatamente.
Em uma turma há 12 meninas e 8 meninos. Qual é a razão entre meninas e meninos na forma simplificada?
Se 3 cadernos custam R$ 24, quanto custam 5 cadernos do mesmo preço?
Quatro torneiras iguais enchem um reservatório em 6 horas. Oito torneiras iguais levarão:
Qual igualdade representa uma proporção?
Uma receita para 4 pessoas usa 300 g de arroz. Para 10 pessoas, mantendo a proporção, serão necessários:
RESUMO CONCLUÍDO
Você colocou as grandezas em proporção.
Marque a leitura como concluída para atualizar seu progresso.