Uma função associa cada entrada x a um único resultado y. Fórmula, tabela, gráfico e texto são maneiras diferentes de representar a mesma relação entre grandezas.
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Função: uma máquina de transformar valores
Imagine uma máquina: você coloca um número na entrada, a regra realiza uma operação e entrega um único resultado. Escrevemos y = f(x), lido como “f de x”.
Valores que podem entrar na função. Em 1/x, por exemplo, x não pode ser zero.
Conjunto escolhido para conter os possíveis resultados.
Resultados que a função realmente produz dentro do contradomínio.
Cada ponto do gráfico é escrito como (x, f(x)).
Como saber se um gráfico representa uma função?
Use o teste da reta vertical: se alguma reta vertical cortar o gráfico em mais de um ponto, um mesmo x terá duas imagens e a relação não será uma função.
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Quatro formas de representar uma função
Uma situação pode aparecer como texto, fórmula, tabela ou gráfico. Saber passar de uma forma para outra é uma das habilidades mais cobradas.
“A corrida custa R$ 6 mais R$ 2 por quilômetro.”
C(x) = 2x + 6.
Para x = 0, 1 e 2, os custos são 6, 8 e 10.
Os pares (0, 6), (1, 8) e (2, 10) pertencem à mesma reta.
A fórmula mostra a regra; a tabela exibe alguns valores; o gráfico permite visualizar crescimento, decrescimento, zeros e intervalos.
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Função do 1º grau: o gráfico é uma reta
A função afim tem a forma f(x) = ax + b, com a diferente de zero. O coeficiente a é a taxa de variação: indica quanto f(x) muda quando x aumenta uma unidade. O coeficiente b é o valor inicial, pois f(0) = b.
Quando x aumenta, f(x) também aumenta.
Quando x aumenta, f(x) diminui.
O gráfico passa pelo ponto (0, b).
Raiz e construção da reta
A raiz é o valor em que f(x) = 0. Dois pontos distintos bastam para traçar uma reta. Se conhecemos (x₁, y₁) e (x₂, y₂), calculamos a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) e depois usamos um dos pontos para descobrir b.
Para f(x) = 2x − 6:
0 = 2x − 6 → x = 3A reta passa por (0, −6) e (3, 0). Esses dois pontos já permitem desenhá-la.
f(x) = x + 1
a positivo: reta crescente
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Estudo do sinal da função afim
Estudar o sinal significa localizar onde a função é positiva, negativa ou nula. Primeiro encontre a raiz e depois observe se a reta é crescente ou decrescente.
Os valores de y são positivos.
É exatamente a raiz da função.
Os valores de y são negativos.
Em f(x) = 2x − 6, a raiz é 3 e a função é crescente.
x < 3: f(x) < 0 • x = 3: f(x) = 0 • x > 3: f(x) > 005
Função do 2º grau: o gráfico é uma parábola
A função quadrática tem a forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero. O coeficiente a determina a concavidade; c indica o corte no eixo y, pois f(0) = c.
Concavidade para cima; o vértice é ponto de mínimo.
Concavidade para baixo; o vértice é ponto de máximo.
Raízes e discriminante
As raízes são os pontos em que a parábola encontra o eixo x. Calcule Δ = b² − 4ac e use a fórmula resolutiva.
Em f(x) = x² − 4x + 3, temos a = 1, b = −4 e c = 3.
Δ = 16 − 12 = 4x = (4 ± 2) / 2 → raízes 1 e 3O gráfico corta o eixo y em (0, 3).
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Vértice, eixo de simetria e conjunto imagem
O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola. Sua reta vertical x = xᵥ é o eixo de simetria. Também podemos obter xᵥ pela média das raízes: xᵥ = (x₁ + x₂)/2.
Em f(x) = x² − 4x + 3, as raízes são 1 e 3.
xᵥ = (1 + 3)/2 = 2 • yᵥ = f(2) = −1Como a > 0, o valor mínimo é −1 e a imagem é y ≥ −1.
Há mínimo yᵥ e a imagem é y ≥ yᵥ.
Há máximo yᵥ e a imagem é y ≤ yᵥ.
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Estudo do sinal da função quadrática
Marque as raízes na reta real e combine-as com a concavidade. Quando existem duas raízes, o sinal troca em cada uma delas.
Se Δ < 0, não há raízes reais: a função mantém o sinal de a para todo x. Se Δ = 0, toca o eixo x no vértice e mantém o sinal de a nos demais pontos.
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Funções em situações reais
Antes de calcular, defina o significado de x e de f(x), identifique a unidade e verifique quais valores fazem sentido no contexto.
Uma taxa fixa somada a um valor por unidade costuma gerar uma função afim.
Velocidade constante produz posição afim; lançamentos podem produzir altura quadrática.
Quando duas medidas variam juntas, a área pode ser modelada por uma quadrática.
O vértice pode indicar quantidade que maximiza lucro ou minimiza custo.
A altura de um objeto é h(t) = −5t² + 20t + 1.
tᵥ = −20/(2·−5) = 2 segundosComo a < 0, h(2) é a altura máxima. No contexto, usamos t ≥ 0, mesmo que a fórmula aceite números negativos.
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Compare antes de resolver
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Um método seguro para resolver e interpretar
Defina variáveis e unidades.
Reconheça grau e coeficientes.
Encontre pontos relevantes.
Confira gráfico e contexto.
Não trocar o sinal de b na fórmula do vértice; esquecer que o denominador 2a vale para todo o numerador; confundir c com uma raiz; ignorar o domínio do problema; ou desenhar o gráfico usando apenas um ponto.
Uma checagem rápida evita muitos erros: substitua as raízes na função, confirme se f(0) = b ou c e veja se o sinal de a combina com o desenho.
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Resumo visual
Veja o maior expoente de x.
Separe os coeficientes.
Encontre raízes e vértice.
Relacione fórmula, gráfico e contexto.
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Agora é sua vez
Escolha uma alternativa e confira a explicação logo abaixo.